カリー化（ Currying ）と部分適用（ Partial Application ）がちがうということについて、すっきりわからない、という話があるようなので書いてみる
前提
元の関数は 2 引数とし、ある式の後に (...) を付けることで適用をあらわす（ Python 風）とする。関数そのものについての表記（「f(x, y) = x + y」のような）と、関数適用の表記（「f(1, 2)」のような）は文脈によって判断してください
本稿では、演算の優先を表すためのカッコは視認性のため [ ] を使う（理解を助けるため冗長になっても積極的に使う）
高階関数というものに対する理解は既にあるものとする
カリー化
たとえば、ある関数 foo(x, y) があるとして、これを、
foo(a, b) = [curried_foo(a)](b)
となるような（高階）関数 curried_foo にするのがカリー化である
関数を引数として、カリー化する（高階）関数 curry(f) があるとすると
[[curry(foo)](a)](b) = foo(a, b)
となる
部分適用
複数の引数を取る関数と、それに与えるべき一部の引数から、一部の引数のみを適用したような（高階）関数を返すのが、部分適用である。部分適用は curry を使って以下のように実装できる
def part_apply(f, x) return [curry(f)](x)
（諸事情などでこちらが curry といった名前であることがしばしばある）
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以下お約束の「ラムダを多用した説明」となる
part_apply の（別の）実装として、以下のようなものが考えられる（例によって対象は 2 引数関数のみとする）
構文は Python と JavaScript のちゃんぽんのようなものとして見てください
def part_apply(f, x) return function (y) { return f(x, y) }
しかしここで、もっと「頭の良い」part_apply を考えることができる
たとえば対象とする関数 f が以下のようなものであったとしよう
def zero_if_negative(x, y) return if x <= 0 then 0 else y
このとき、x の値に応じて
part_apply(zero_if_negative, -1) ↓ function (y) { return 0 }
か
part_apply(zero_if_negative, 1) ↓ function (y) { return y }
のように、それぞれどちらかの特化した関数を返すような part_apply もありうる（もちろんあらゆる関数 f に対して対応できる必要がある）
プログラマであれば、「それマクロと最適化でできるよ」ないし最近の話題を追ってる方であれば「リフレクションとかメタプログラミングでは」という反応をされると思う（し、実際同じものである）が、理論計算機科学的にはこれを部分評価（Partial Evaluation wikipedia:部分評価）という
